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主要内容
列方程解稍复杂的百分数实际问题


学习目标
1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上,引出列方程解一些稍复杂的百分数实际问题的方法。
2、能根据题中的信息,熟练地找出基本的数量关系,培养学生的分析解题能力。
3、通过练习,沟通百分数和分数的联系,提高学生解决相关问题的能力。


考点分析
1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。
2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3、“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。
4、灵活运用本单元所学知识,、解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。


典型例题


例1、(列方程解答和倍问题)
一根绳子长48米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的60%。甲、乙两绳各长多少米?
分析与解:乙绳长度是甲绳的60%,把甲绳长度看作单位“1”。
x米
14-1.webp.jpg


等量关系式:甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度


解答:设甲绳长x米,则乙绳长60%x米。
     x + 60%x = 48
           1.6x = 48
          x = 30
60%x = 30 × 60% = 18
答:甲绳长30米,则乙绳长18米。


检验:30 + 18 = 48(米),符合甲、乙两绳共长48米。
18 ÷ 30 = 60%,符合乙绳长度是甲绳的60%。


例2、(列方程解答差倍问题)
体育馆内排球的个数是篮球的75%,篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个?
分析与解:排球的个数是篮球的75%,是把篮球个数看作单位“1”。
14-2.webp.jpg
等量关系式:篮球 – 排球 = 6个
解答:设篮球有x个,则排球有75%x个。
     x - 75%x = 6
          0.25x = 6
              x = 24
75%x = 24 × 0.75 = 18
答:篮球有24个,排球有18个。
你会自己检验吗?   


检验:24 - 18 = 6(个),符合篮球比排球多6个。
18 ÷ 24 = 75%,符合排球的个数是篮球的75%。


点评:在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况下设单位“1”的量为x,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量,最后根据它们的和或差列出方程。


例3、六年级男生比女生少40人,六年级女生人数相当于男生人数的140%,六年级男生有多少人?


错误解法:设:女生有x人,男生就有140%x人。
140%x - x = 40
                   0.4x = 40
                      x = 100
140%x = 100 × 1.4 = 140


分析与解:根据“六年级女生人数相当于男生人数的140%”,可以把男生人数看作单位“1”的量,设男生人数为x人,女生人数就是140%x人,再根据“六年级男生比女生少40人”,可以得出数量关系式:“女生人数 – 男生人数 = 40”,根据此数量关系式列出方程。


正确解答:设男生有x人,女生就有140%x人。
140%x - x = 40
                   0.4x = 40
                      x = 100
答:男生有100人。


点评:解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要去找分率(百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。


例4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)
白兔有36只,比灰兔少20%。灰兔有多少只?
分析与解:白兔比灰兔少20%,把灰兔看作单位“1”。
14-4.webp.jpg
等量关系式:灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数
解答:设灰兔有x只。
     x - 20%x = 36
          0.8x = 36
              x = 45
答:灰兔有45只。
检验:45 – 45 × 20% = 36 或 (45 – 36)÷ 45 =  20%,符合题意。


例5、(列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)
白兔有48只,比灰兔多20%。灰兔有多少只?
分析与解:白兔比灰兔多20%,把灰兔看作单位“1”。
14-5.webp.jpg
等量关系式:灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数
解答:设灰兔有x只。
     x + 20%x = 48
          1.2x = 48
              x = 40
答:灰兔有40只。
检验:40 + 40 × 20% = 48 或 (48 – 40)÷ 40 =  20%,符合题意。


点评:和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看问题求什么,确定用什么方法计算。


例6、(难点突破)
某商品如果按现价18元出售,则亏了25%,原来成本是多少元?如果想盈利25%,应按多少元出售该商品?
分析与解:不管是亏25%,还是盈利25%,单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18元亏25%,说明18元比成本少25%,即是成本的(1 - 25%)。盈利25%,说明盈利的是原来成本的25%,实际售价是原来成本的(1 + 25%)。
解答:设原来成本是x元。
        x - 25%x = 18
          0.75x = 18
              x = 24
24 × (1 + 25%) = 30(元)
答:原来成本是24元,应按30元出售该商品。


点评:通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。


例7、(考点透视)
水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的22%,第二次运进1.5吨,两次共运进这批水果的62%,这批水果一共有多少吨?


分析与解:根据题意可以画出下面的线段图:
14-7.png
从图中可以看出:两次一共运的吨数 -  第一次运的吨数 = 1.5吨,单位“1”的量是这批水果的总吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了62%x吨,第一次运进了22%x吨。
解:设这批水果一共有x吨。
62%x - 22%x = 1.5
          40%x = 1.5
              x = 3.75
答:这批水果一共有3.75吨。
点评:在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件变得简洁,找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1”的量之后,再去表示其他的量。
模拟试题练习(三)


一、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。


②男生人数比女生人数多20%。


③女生人数比男生人数少25%。


④加工一批零件,已完成了80%。   


⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。


2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60%


②一种彩电,现价比原价降低10%


③松树的棵数比柏树多三分之一
14-8.png


4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%多1.5,求这个数。


(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。


二、解决问题:
1、对比练习
(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨?
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?


2、一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元?


3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵?


4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元?


5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长多少米?


6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这条绳子长多少米?


7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几?
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几?


8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵,,梨树有多少棵?
①200÷20%
②200×20%
③200÷(1+20%)
④200÷(1-20%)
⑤200×(1-20%)
⑥200×(1+20%)


参考答案:(三)


一、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。   把女生人数看作单位“1”
②男生人数比女生人数多20%。 把女生人数看作单位“1”
③女生人数比男生人数少25%。 把男生人数看作单位“1”
④加工一批零件,已完成了80%。    把一批零件看作单位“1”
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。把去年的猪肉单价看作单位“1”


2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60%       全长 × 60% = 已修
②一种彩电,现价比原价降低10%   原价 × 10% = 降价
原价 ×(1-10%)= 现价
14-9.jpg


4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%多1.5,求这个数。75%x – 30 × 25% = 1.5
x = 12
(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。75%x – 25%x = 30
x = 60


二、解决问题:
1、对比练习
(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨?
解:设五月份用煤x吨。        
x – 25%x = 60
x = 80
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
60 + 60 × 25% = 75(吨)


2、一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元?
解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是60%x元。
x – 60%x = 10
x = 25
25 × 60% = 15(元)或 25 – 10 = 15(元)
答:课桌的单价是25元,椅子的单价是15元。


3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵?
解:设梨树的棵树是x棵,苹果树的棵树是20%x棵。
x + 20%x = 360
x = 300
300 × 20% = 60(棵)或 360 – 300 = 60(棵)
答:梨树的棵树是300棵,苹果树的棵树是60棵。


4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元?
解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是30%x元。
x + 30%x = 78
x = 60
60 × 30% = 18(元)或 78 – 60 = 18(元)
答:课桌的单价是60元,椅子的单价是18元。


5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长多少米?
解:设这条绳子共长x米。
25%x + 35%x = 6
x = 10
答:这条绳子共长10米。


6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这条绳子长多少米?
解:设这条绳子共长x米。
35%x - 25%x = 1
x = 10
答:这条绳子共长10米。


7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?  25 ÷ 20 =  125%
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几?    20 ÷ 25 =  80%
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?  (25 – 20) ÷ 20 =  25%
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几?    (25 – 20) ÷ 25 =  20%


8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵,,梨树有多少棵?
①200÷20%            苹果树是梨树的20%
②200×20%            梨树是苹果树的20%
③200÷(1+20%)      苹果树比梨树多20%
④200÷(1-20%)      苹果树比梨树少20%
⑤200×(1-20%)      梨树比苹果树少20%
⑥200×(1+20%)     梨树比苹果树多20%


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